Последовательности

Числовые последовательности — это один из основных объектов, рассмотрением которого занимается раздел математики под названием математический анализ. Его начинают изучать в старших классах средней школы и продолжают более подробно в институтах.

Числовых последовательностей бесчисленное число Но с точки зрения создания головоломок и занимательных задач нам интересно работать с простыми, известными и интересными последовательностями. Задачка может при этом выглядеть очень просто: «Продолжи последовательность чисел…»

• Натуральные числа — 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15, … (ими можно посчитать, например, яблоки)
• Чётные числа — 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30, … (делятся без остатка на 2)
• Нечётные числа — 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29, … (не делятся без остатка на 2)
• Простые числа — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … (делятся только на себя и на 1)

• Числа Фибоначчи — 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … (каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел)

• Ряды Фарея — возрастающий ряд всех положительных несократимых правильных дробей, знаменатель которых меньше или равен n

• Фигурные числа — если из камушков выкладывать разные фигуры – треугольники, квадраты, пятиугольники и т.п. – всё большего размера, то получатся последовательности фигурных чисел, соответственно, треугольных, квадратных, пятиугольных и т.д.

Причём фигурные числа могут быть как плоские, так и объёмные. Например, вот так как получаются квадратные пирамидальные числа.

А вот так образуются тетраэдральные числа.

Также последовательности чисел можно получить, подсчитывая число вершин, рёбер и граней в различных объёмных фигурах типа платоновых тел, архимедовых тел, многогранников Джонсона и т.п.

А ещё можно подсчитывать число всевозможных полимино.

Эти последовательности можно придумывать и продолжать бесконечно. Чтобы собрать в одном месте и классифицировать все такие последовательности был создан проект The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® или OEIS® (Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей). На их сайте можно найти практически любую из известных целочисленных последовательностей.

Бывают такие числовые последовательности, которые не очень относятся к математике. Например, порядок чисел на барабане в казино или на дартсе.

В разных странах в разные времена применялись различные, в том числе непозиционные системы счисления. Если сейчас записать этими числами даже обычный ряд натуральных чисел, то получится настоящая головоломка.

А какие бывают нечисловые последовательности? Да любые! Конечно, в своей основе они тоже имеют какую-то числовую последовательность (например, порядковый номер в виде натурального числа или какую-то величину), но говоря о таких последовательностях мы уже не думаем о числах и математике.

Самые известные нечисловые последовательности – это алфавиты:

• Русский — Аа Бб Вв Гг Дд Ее Ёё Жж Зз Ии Йй Кк Лл Мм Нн Оо Пп Рр Сс Тт Уу Фф Хх Цц Чч Шш Щщ Ъъ Ыы Ьь Ээ Юю Яя
• Латинский — Aa Bb Cc Dd Ee Ff Gg Hh Ii Jj Kk Ll Mm Nn Oo Pp Qq Rr Ss Tt Uu Vv Ww Xx Yy Zz
• Греческий — Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω
• Глаголица — Ⰰⰰ Ⰱⰱ Ⰲⰲ Ⰳⰳ Ⰴⰴ Ⰵⰵ Ⰶⰶ Ⰷⰷ Ⰸⰸ Ⰹⰹ Ⰺⰺ Ⰻⰻ Ⰼⰼ Ⰽⰽ Ⰾⰾ Ⰿⰿ Ⱀⱀ Ⱁⱁ Ⱂⱂ Ⱃⱃ Ⱄⱄ Ⱅⱅ Ⱆⱆ Ⱇⱇ Ⱈⱈ Ⱉⱉ Ⱊⱊ Ⱋⱋ Ⱌⱌ Ⱍⱍ Ⱎⱎ Ⱏⱏ Ⱐⱐ Ⱑⱑ Ⱒⱒ Ⱓⱓ Ⱔⱔ Ⱕⱕ Ⱖⱖ Ⱗⱗ Ⱘⱘ Ⱙⱙ Ⱚⱚ Ⱛⱛ Ⱜⱜ Ⱝⱝ Ⱞⱞ
• Кириллица — А Б В Г Д ЕЄ Ж Ѕ ꙀЗ И ІЇ К Л М Н О П Р С Т ѸꙊ Ф Х Ѡ Ц Ч Ш Щ Ъ ЫꙐ Ь Ѣ Ю Ꙗ Ѥ Ѧ Ѫ Ѩ Ѭ Ѯ Ѱ Ѳ Ѵ
• Рунический
  • старший футарк ᚠᚢᚦᚨᚱᚲᚷᚹᚺᚾᛁᛃ ᛇᛈᛉᛊᛏᛒᛖᛗᛚᛜᛞᛟ
  • футорк ᚠᚢᚦᚩᚱᚳᚷᚹᚻᚾᛁᛄ ᛇᛈᛉᛋᛏᛒᛖᛗᛚᛝᛞᛟ ᚪᚫᚣᛠ
  • младший футарк ᚢᚦᚬᚱᚴᚼᚾᛁᛅᛋᛏᛒᛘᛚᛦ/ᛧ

Любые кодовые таблицы всегда имеют какую-то упорядоченность, поэтому по умолчанию кодовая таблица — это тоже последовательность символов.

Среди единиц измерения времени тоже можно встретить много последовательностей.

• названия месяцев: (1) январь, (2) февраль, (3) март, (4) апрель, (5) май, (6) июнь, (7) июль, (8) август, (9) сентябрь, (10) октябрь, (11) ноябрь, (12) декабрь;
• дни недели: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье;
• единицы измерения времени: терция, секунда, минута, полчаса, час, сутки, неделя, декада, фортнайт, месяц, четверть, триместр, квартал, семестр, полугодие, год, олимпиада, пятилетка, десятилетие, индиктион, сарос, век, тысячелетие, галактический год, кальпа.

В играх часто карты или фигуры располагаются по старшинству.

Стандартная (французская) колода включает 54 карты: 52 основных, каждая из которых относится к одной из четырёх мастей (двух цветов) и имеет одно из 13 достоинств, и 2 специальные карты, так называемые джокеры, обычно различающиеся по рисунку. Для различных игр может использоваться как вся колода, так и её сокращённые варианты, не включающие джокеров:

• 52 карты (полная колода, от двоек до тузов);
• 36 карт (сокращённая колода, от шестёрок до тузов);
• 32 карты (малая колода, от семёрок до тузов);
• 24 карты (от девяток до тузов) — используется для игры в тысячу.

Обычно старшинство по возрастанию такое: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,Валет(J),Дама(Q),Король(K),Туз(A). Самая сильная масть обычно крести ♣, затем вини ♠, черви ♥ и самая слабая буби ♦. В зависимости от игры, старшинство карт и мастей может меняться. Например, туз может быть как самой младшей картой, так и самой старшей в своей масти. А вот в игре в «козла» 6♣ старше, чем Д♣. В покере вообще важна комбинация карт. Старшинство комбинаций зависит от вероятности их выпадения — чем реже комбинация, тем она «дороже»: самая редкая — роял флэш.

Стандартная колода состоит из 78 карт. Старшие арканы — козыри, обычно 22 карты. Младшие арканы — четыре масти (жезлы, кубки, мечи и пентакли), обычно 56 карт, по 14 карт каждой масти. Младшие арканы повторяют классическую колоду игральных карт, а вот старшие отличаются.

К старшим (или великим) арканам относятся 22 карты, каждая из которых имеет своё оригинальное название. В классическом (наиболее распространённом) варианте козыри имеют названия:

• (0 или XXII) «Дурак» («Шут»)
• (I) «Маг»
• (II) «Жрица»
• (III) «Императрица»
• (IV) «Император»
• (V) «Иерофант» («Первосвященник»)
• (VI) «Влюблённые» («Выбор»)
• (VII) «Колесница»
• (VIII) «Справедливость» («Правосудие»)
• (IX) «Отшельник»
• (X) «Колесо Фортуны»
• (XI) «Сила»
• (XII) «Повешенный»
• (XIII) «Смерть»
• (XIV) «Умеренность» («Время»)
• (XV) «Дьявол»
• (XVI) «Башня»
• (XVII) «Звезда»
• (XVIII) «Луна»
• (XIX) «Солнце»
• (XX) «Страшный суд» («Суд»)
• (XXI) «Мир»

В основе китайского гороскопа, используемого в Китае и других странах юго-восточной Азии, лежат 10- и 12-летний циклы.

Небесные стволы — циклические знаки десятеричного цикла, использующиеся для календарных обозначений. По характеру использования иногда соответствует римским цифрам или любой другой системе исчисления на письме (а. б. в., 1) 2) 3) и т.п.).

Расположены в следующем порядке: 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.

Земные ветви — циклические знаки двенадцатеричного цикла, используемые для ведения летоисчисления.

Расположены в следующей последовательности: 子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥

Им соответствуют символические животные: 鼠 Мышь, 牛 Корова, 虎 Тигр, 兔 Заяц, 龍 Дракон, 蛇 Змея, 馬 Конь, 羊 Овца, 猴 Обезьяна, 鷄 Петух, 狗 Собака, 猪 Свинья.

60-летний цикл является результатом взаимодействия 10-летнего и 12-летнего циклов. Каждый год характеризуется по инь/ян, по элементу и по животному. Например, начинается каждый цикл янской деревянной крысой и продолжается до следующей янской деревянной крысы. Чётность числа 12 приводит к тому, что каждое зодиакальное животное встречается только в одной форме инь/ян, например, дракон — всегда ян, а бык — всегда инь. Поэтому цикл длится именно 60 лет, а не 120.

А это перечень зодиакальных созвездий. Конечно, Солнце движется через них по кругу, поэтому последовательность можно начинать с любого созвездия. Но принято с того, в котором находится точка весеннего равноденствия, а это Овен. В классической астрологии используют 12 зодиакальных созвездий, но недавно стала популярна 13-знаковая астрология с новым знаком зодиака - Змееносцем.

• ♈ Овен
• ♉ Телец
• ♊ Близнецы
• ♋ Рак
• ♌ Лев
• ♍ Дева
• ♎ Весы
• ♏ Скорпион
• ⛎ (Змееносец)
• ♐ Стрелец
• ♑ Козерог
• ♒ Водолей
• ♓ Рыбы

Можно даже использовать не только классические европейские календари, но и другие, например, майя.

Или даже вот такие

Планеты Солнечной системы расположены по удалению от Солнца в таком порядке:

Порядок основных цветов в спектре: Красный, Оранжевый, Жёлтый, Зелёный, Голубой, Синий, Фиолетовый

Фраза для запоминания: Каждый Охотник Желает Знать Где Сидит Фазан.

• Список_химических_элементов

В химии гомологическим рядом называют ряд химических соединений одного структурного типа, отличающихся друг от друга по составу на определённое число повторяющихся структурных единиц (так называемую гомологическую разность).

Например, гомологический ряд насыщенных углеводородов или парафинов (алканов) выглядит так:

Алканы: Метан (CH₄), Этан (C₂H₆), Пропан (C₃H₈), Бутан/Изобутан, Пентан, Гексан, Гептан, Октан, Нонан, Декан, Ундекан, Додекан, Тридекан, Тетрадекан, Пентадекан, Гексадекан, Гептадекан, Октадекан, Нонадекан, Эйкозан, Генэйкозан, Докозан, Трикозан, Тетракозан, Пентакозан, Гексакозан, Гептакозан, Октакозан, Нонакозан, Триаконтан, Гентриаконтан, Дотриаконтан, Тритриаконтан, Тетратриаконтан, Пентатриаконтан, Гексатриаконтан, Гептатриаконтан, Октатриаконтан, Нонатриаконтан, Тетраконтан, Гентетраконтан, Дотетраконтан, Тритетраконтан, Тетратетраконтан, Пентатетраконтан, Гексатетраконтан, Гептатетраконтан, Октатетраконтан, Нонатетраконтан, Пентаконтан, Генпентаконтан, Допентаконтан, Трипентаконтан, Тетрапентаконтан, …, Гексаконтан, …, Гептаконтан, …, Гектан, …, Пентаконтагектан, …, Нонаконтатриктан (C₃₉₀H₇₈₂)

Общая формула алканов C_nH_2n+2.

1. Джордж Вашингтон
2. Джон Адамс
3. Томас Джефферсон
4. Джеймс Мэдисон
5. Джеймс Монро
6. Джон Куинси Адамс
7. Эндрю Джексон
8. Мартин Ван Бюрен
9. Уильям Гаррисон
10. Джон Тайлер
11. Джеймс Нокс Полк
12. Закари Тейлор
13. Миллард Филлмор
14. Франклин Пирс
15. Джеймс Бьюкенен
16. Авраам Линкольн
17. Эндрю Джонсон
18. Улисс Грант
19. Ратерфорд Хейс
20. Джеймс Гарфилд
21. Честер Артур
22. Гровер Кливленд
23. Бенджамин Гаррисон
24. Гровер Кливленд (второй раз)
25. Уильям Мак-Кинли
26. Теодор Рузвельт
27. Уильям Тафт
28. Вудро Вильсон
29. Уоррен Гардинг
30. Калвин Кулидж
31. Герберт Гувер
32. Франклин Рузвельт
33. Гарри Трумэн
34. Дуайт Эйзенхауэр
35. Джон Кеннеди
36. Линдон Джонсон
37. Ричард Никсон
38. Джеральд Форд
39. Джимми Картер
40. Рональд Рейган
41. Джордж Герберт Уокер Буш («Джордж Буш — старший»)
42. Билл Клинтон
43. Джордж Уокер Буш («Джордж Буш — младший»)
44. Барак Обама
45. Дональд Трамп

• 1930 Уругвай
• 1934 Италия
• 1938 Италия
• 1950 Уругвай
• 1954 Западная Германия
• 1958 Бразилия
• 1962 Бразилия
• 1966 Англия
• 1970 Бразилия
• 1974 Западная Германия
• 1978 Аргентина
• 1982 Италия
• 1986 Аргентина
• 1990 Западная Германия
• 1994 Бразилия
• 1998 Франция
• 2002 Бразилия
• 2006 Италия
• 2010 Испания
• 2014 Германия
• 2018 Франция

Некоторые задачи могут и не содержать последовательностей, как таковых. Тем не менее, в них присутствуют некие ряды элементов с определёнными закономерностями. Например, вот такая задачка:

На самом деле, если произвести полную декомпозицию задачи, то всё равно в конце концов придём к комбинации простых последовательностей атрибутов.

На самом деле различных рядов и последовательностей можно вспомнить очень много: последовательности исторических событий, различные рейтинги и топ-листы, таблицы производительности или линейки выпуска изделий, последовательности нуклеотидов в ДНК и т.д и т.п. Даже последовательность слов на этой страничке - это тоже последовательность. Поэтому даже просто перечислить всё - это уже непосильная задача. Но основные последовательности, которые можно использовать в задачах и головоломках, я надеюсь, вспомнил.